无量热计式准稳态法导热系数测试模型的改进

上海依阳实业有限公司- -www.eyoungindustry.com 准稳态法热物性测试技术应用——Application Note： C003无量热计式准稳态法热扩散率测试模型的改进 上海依阳实业有限公司 www.eyoungindustry.com 摘要：在无量热计式准稳态法原理模型假设条件的基础上，用更复杂的关系式来对模型进行描述，提出了用三次方关系式来描述试样内部的温度分布，并修正了相应的热扩散率计算公式。经过有限元模拟分析计算，修正后得到的结果误差反而要比修正前更大和更不稳定，这种现象还需进一步的深入研究有待解决，但这种修正方法可以应用到量热计式准稳态热物性测试技术中。 1.简介 无量热计式准稳态法热物理性能测试技术在测试原理模型中做了很多假设，其中一个最重要的假设是试样在进入准稳态后，试样上所有点的升温速率是一致的。通过采用有限元模拟计算和分析发现，实际情况并不是这样，实际情况是随着温度的升高，试样上所有位置的升温速度逐渐趋近一致。 因此，本文基于这种实际情况与模型假设的偏差，尝试对原有的公式推导进行改进，修正相应的计算公式，希望能进一步的提高测量精度，并通过有限元模拟分析进行验证。 2.无量热计准稳态法热物性测试基本模型 在无量热计式准稳态法多参数热物理性能测试中，假设被测试样为如图2-1所示的一维无限大导热模型：一无限大不良导体平板厚度为2R，初始温度为T，在平板两侧同时施加均匀的指向中心面的热流密度q.，则平板各处的温度T(x，t)将随加热时间t而变化。 以试样中心为坐标原点，上述模型的数学描述可表达为： 图2-1无量热计式准稳态法热扩散率测试基本模型 式中α=a/ pc 为热扩散率，a为材料的热导率，p为材料的密度，c为材料的比热，，q.为从边界向中间施加的热流密度，T 为初始温度。 为求解方程(2.1.1)，应先作变量代换，将(2.1.1)式的边界条件换为齐次的，同时使新变量的方程尽量简化，故此设： 将(2.1.2)式代入(2.1.1)式，得到u(x，t)满足的方程及边界和初始条件： u(x，0)=T 4ex’ 22R 用分离变量法解方程(2.1.3)，设： 代入(2.1.3)中第1个方程后得出变量分离的方程： (2.1.5)和(2.1.6)式中的β为待定常数。 方程(2.1.5)的解为： F(r)=e-op'r (2.1.7) 方程(2.1.6)的解为： 为使(2.1.4)式是方程(2.1.3)的解，(2.1.8)式中的c、c'和β的取值必须使X (x)满足方程(2.1.3)的边界条件，即必须c'=0， β=nn/R。 由此得到u(x，t)满足边界条件的1组特解： 将所有特解求和，并带入初始条件，得： 为满足初始条件，令c，为T-9cx2²的傅氏AR余弦展开式的系数： 将c和c，的值代入(2.1.9)式，并将所有特解求和，得到满足方程(2.1.3)条件的解为： 考察T(x，t)的解析式(2.1.13)可以看到，随加热时间的增加，样品各处的温度将发生变化，而且我们注意到式中的级数求和项由于指数衰减的原因，会随加热时间的增加而逐渐变小，直至所占份额可以忽略不计。 定量分析表明，当“>0.5以后，上述级数求和项可以忽略。这时式(2.1.13)可简写成：R 这时，在试样中心处(x=0)有： 在试样加热面处(x=±R)有： 由式(2.1.15)和(2.1.16)可见，当加热时间满足条件：r>0.5时，在试样中心面和加热面处温度和加热时R间成线性关系，温升速率都为OT/Or=aq，/AR，此值是一个和材料导热性能和实验条件有关的常数，此时加热面和中心间的温度差为： 由式(2.1.17)可以看出，此时加热面和中心面间的温度差AT 和加热时间t没有直接关系，保持恒定，系统各处的温度和时间呈线性关系，温升速率也相同。我们称此种状态为准稳态。 当系统达到准稳态时，由式(2.1.17)得到： 根据式(2.1.18)，只要测量进入准稳态后加热面和中心面间的温度差AT，并由实验条件确定相关参量q和R，则可以得到待测材料的热导率1。 另外，在进入准稳态后，由比热的定义和能量守恒关系，可以得到下列关系式： 比热为： 式中 -为准稳态条件下试样中心面的温升速率(进入准稳态后各点的温升速率是相同的)。依据热扩散率的定义α=1/pc，根据式(2.1.18)和(2.1.19)，就可以得到热扩散率的计算公式： 从公式(2.1.21)可以看出，热扩散率的测量是绝对的，它只取决于距离和时间测量，并以热扩散率的量纲形式[α]=m's-苗进行描述。由此，可以得到准稳态法同时测量热导率、热扩散率和比热容的全部数学公式： 由以上分析和公式(2.1.22)可以得到结论：只要在上述模型中测量出系统进入准稳态后加热面和中心面间的温度差和中心面的温升速率，就可以测定材料的热扩散率。如果测量出流经试样的热流密度，就可以得到待测材料的热导率和比热容。 在使用公式(2.1.22)进行实际测试过程中，在某一温度点时的温度变化速度一般用T(x，t)/ At 来表示，这显然认为试样中温度随时间的变化T(x，t) 近似为一个二次多项式，试样内的温度变化速度就相当于对这个二次多项式进行求导。 3. 改进后模型 从无量热计式准稳态原理模型中可以看出，试样内部温度分布公式(2.1.14)对于坐标x是一个二次多项式，为了更加准确的描述试样内的温度变化，对于试样温度随时间的变化可以用三次多项式来描述，以替代采用二次多项式来近似表达试样内(0

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