专家约稿|基于压缩感知的原子力显微技术及其在材料表征中的应用

原子力显微镜(AFM)是研究材料表面结构及性质的分析仪器。传统AFM需要数分钟时间才能获得一副高分辨图像。基于压缩感知的原子力显微技术（CS-AFM），能有效减少探针与样品之间的相互作用，延长探针寿命，在减少扫描成像耗时的同时保证成像质量，极具应用前景。CS-AFM可应用于欠采样快速成像、超分辨率成像和图像快速重建去噪等多个方向，适用于多种样品。本文主要介绍基于压缩感知的原子力显微技术的基本原理、相关应用以及未来发展三个方面。

1.前言

原子力显微镜（Atomic Force Microscope，AFM）已广泛应用于表面科学、材料工程和生物学等领域。传统AFM采用光栅扫描方式，完成一幅高分辨率的AFM成像通常需要大约10分钟时间，限制了其在许多领域的应用[1]。因此，减少AFM成像时间一直以来都是研究的热点。通常研究人员通过升级硬件、控制器和控制算法、开发新的针尖移动轨迹来提高AFM探针的移动速度，达到加速AFM成像过程的目的。这类研究的共性在于每一个成像像素点都需要探针-样品相互作用，进而实现全局采样。

压缩感知（Compressed Sensing, CS）是一种智能采样理论，能够从明显少于奈奎斯特采样定律要求的欠采样信息中恢复原始信息，是提高AFM成像速度的新方法。本文依据原子力显微镜理论、压缩感知理论及近年相关的研究工作，主要介绍基于压缩感知的原子力显微技术（以下简称CS-AFM）及其在材料表征中的应用，并对未来发展进行讨论，期望能为相关科技工作者提供参考。

2. CS-AFM技术原理

假设一组样品信息χ，在N维中最多有k个非零分量，称为k-稀疏。这表明在实空间中可以找到正交基Ψ使得，其中c为稀疏信号。对χ采样则需要M倍的线性测量值，这意味着测量值比信号维数要少[2]。AFM压缩采样操作可以用测量矩阵表示，欠采样中测量点少于实际信号点数，因此测量矩阵的行数小于列数，即M。假设测量结果为y，如图1所示，CS-AFM的采样过程可以表示为

进行正交变换得

图1 压缩感知采样示意图

在一般情况下，CS的测量矩阵可以选择如高斯随机矩阵、伯努利矩阵、随机傅里叶矩阵等，通常依赖于信号的多元素线性组合。由于AFM探针针尖的点状特性，AFM探针针尖一次只能测量一个元素。因此，CS-AFM需要一个特殊设计的测量矩阵来测量AFM样品信息[3]。在CS-AFM应用中，通常选择去除部分行的单位矩阵，如在测量矩阵的每一行中，只有一个1和多个0。其中一种测量矩阵形式为

3. CS-AFM的应用

纳米科学的不断发展与以原子力显微术（AFM）为代表的多种纳米尺度研究手段的产生和发展密不可分。CS-AFM应用于材料研究，在欠采样快速成像、超分辨成像、AFM图像重建等方面均有出色的表现，一方面大大减少了采样数据量同时保证成像质量，另一方面降低了数据传输、存储等过程中的成本。

3.1 欠采样快速成像

通过这种特殊的测量矩阵(3)，CS-AFM能够保证每次测量采集单个像素点，形成探针光栅轨迹或非光栅轨迹[4]。当不对采样点做约束时，如图2(a)所示，CS-AFM所需的采样点随机分布在64 ×64的待测区域中，该方法容易实现，但是采样过程中多次的探针抬升下降会导致成像时间过长。如图2(b)所示，以光栅扫描为基础，通过删去部分行的方式可以实现行欠采样扫描。如图2(c)所示，通过分段连续采样路径长度为q的q个像素点，可以较好地平衡探针抬升下降次数与成像效果之间的关系。如图2(d)所示，螺旋扫描轨迹通过恒定的角速度/线速度实现，将螺旋轨迹中的采样点映射至扫描图像的像素点中，即可获得测量矩阵，该方法减少较多的成像时间[5]。如图2(e)所示，方形扫描是对螺旋欠采样扫描的改进，实现了更加平滑的采样路径。

图2 采样δ=0.3时64 ×64像素图像的扫描模式示例

(a)随机扫描，(b)行扫描，(c) μ路径,q=4，(d)螺旋扫描，(e)方形扫描

如图3所示，基于CS所得的各类不同扫描轨迹均较好地实现了BOPP薄膜成像，其中PSNR和SSIM分别是峰值信噪比和结构相似性。从成像结果中可知，CS-AFM在欠采样过程中采用随机扫描、μ路径和螺旋扫描时效果较好，能够高质量获取样品形貌信息。

图3 不同扫描模式下BOPP薄膜在δ=0.2时的AFM图像重建结果。 (a)真实图像。(b)随机扫描图像，PSNR = 35.70 dB, SSIM = 0.93。(c) μ路径图像,q=4, PSNR = 32.84 dB, SSIM = 0.88。(d)螺旋扫描图像，PSNR = 34.40 dB, SSIM = 0.91。(e)行扫描图像，PSNR = 22.89 dB, SSIM = 0.61。(f) 方形扫描图像，PSNR = 22.89 dB, SSIM = 0.61。

3.2 超分辨率成像

超分辨率是计算机视觉中的经典概念，其目的是从单个低分辨率图像中恢复出高分辨率图像。CS理论表明，如果信号在某一区域是稀疏的，那么它可以从比原始信号更少的样本中重构出来。构建高秩矩阵和低秩矩阵之间的映射关系，通过重构算法，从少量的测量值中能够几乎完美地还原出原始信号。

如图4所示，首先通过大步长的光栅扫描获取低分辨率数据，其次构建测量矩阵，实现低分辨率信息到高分辨率信息的映射，最后通过重建算法得到高分辨率图像。压缩指的是从高分辨率图像或数据中获取低分辨率图像或数据的数学过程。实际上，压缩感知超分辨率成像可以看作反向的降采样过程，高分辨率图像是未知的，通过CS方法可以在一定条件下基于给定的低分辨率数据正确恢复对应的高分辨率图像。在接触模式下，图5-图7展示了通过CS-AFM实现了针对包括氧化石墨烯、线虫、R-6G在内的多个样本的超分辨成像实验。低分辨率图像的大小是由放大系数决定的，并与双立方插值、迭代投影、Papoulis-Gerchberg (P-G)算法等多种方法进行效果对比。结果表明CS-AFM重建图像清晰，细节特征清晰[6]。

图4 放大系数为2的压缩感知超分辨率成像原理图

图5 放大系数为2的氧化石墨烯图像

图6 放大系数为3的线虫图像

图7 放大倍数为4的R-6G图像

3.3 图像快速重建去噪

CS可以通过欠采样和重构获得信号，使AFM能够对形貌信息进行空间欠采样，以提高成像速率并减少样本之间的相互作用量。然而CS-AFM的成像方式会占用大量的计算资源，包括计算时间和存储空间。这增加CS-AFM恢复高分辨率图像的难度。通过将AFM图像视为独立行/列向量的集合，并分别恢复每个行/列向量，并引入贝叶斯压缩感知(Bayesian compressed sensing，BCS)，能够获得更好的重构性能。如图8所示，该方法成功实现带噪声欠采样数据高质量AFM图像重建，并且显著减少了对计算资源的占用。重构时间从几十分钟缩短到不到1分钟，所使用的RAM减少到普通算法的1/n²，这意味着在个人计算机上实现CS-AFM成像过程将不再困难[7,8]。

图8 从欠采样率为0.38的数据中恢复得到的AFM图像。（1）原始AFM图像；（2）采用快速贝叶斯压缩感知获得的重建图像；（3）采用普通贝叶斯压缩感知获得的重建图像

4. CS-AFM的发展前景

AFM目前在生命科学、材料工程等领域中的使用十分广泛，可应用于样品的物理化学性质实时观察分析[9]。CS-AFM技术有效平衡了成像速度与成像质量，减少探针与样品之间的相互作用，延长探针寿命，对快速高精度观测样品物化性质具有重要意义。测量矩阵、稀疏字典、重构算法是CS理论的三项重要元素。不同的测量矩阵对应不同的扫描轨迹，稀疏字典是CS-AFM产生正交基的依据，重建算法是信息精确恢复的直接影响因素[10]。一般来说，具有适合的测量矩阵、稀疏字典、重构算法的CS方法是实现快速高精度AFM测量的有效解决方案。CS-AFM现在的采样模式大多局限于特定的针尖路径，采样点对精确重建样品表面图像具有重要作用，采样点的优化分配取决于样品特征信息分布。此外，为了应对多种样品类型，将图像特征结构等信息引入CS理论的稀疏字典中进行训练，区分特征信息和冗余信息，使稀疏字典具备“学习”的能力将是一个有望提高方法适用性的研究方向[11]。同时“学习”也意味着大量的计算和存储空间，因此算法的复杂度与成本也需要进一步降低。面对多样化样品、大范围高速成像需求，CS-AFM具有巨大的发展潜力。

作者简介

程鹏，北京航空航天大学物理学院在读博士研究生，导师为李英姿教授。主要从事计算成像与仪器智能化研究，在Measurement Science and Technology，Beilstein Journal of Nanotechnology等国内外学术期刊发表论文6篇 ，已授权国家发明专利1项。

李英姿，现任北京航空航天大学物理学院教授，博士生导师。主要从事深空环境原位测量表征技术研究。近年来承担并完成国家“211”“985”工程项目、国家863计划课题、国家自然科学基金、航空科学基金、国防预研基金、北京市自然科学基金等多个项目。曾获航空基础科学基金科技一等奖，部级科学技术进步三等奖。成功研制音圈驱动大范围原子力显微镜，石英音叉探针频率调制原子力显微镜 ，并实现压缩感知成像系统 ，液相成像系统 ，高次谐波/多频激励成像系统等开发。首批国家级一流本科课程“基于 AFM 的物质表面微观结构及力学性质表征仿真实验”负责人。在 Sensors and actuators A-physical、Mechanism and machine theory、Nanotechnology 等国内外学术期刊发表论文80余篇，已授权国家发明专利10余项。

钱建强，北京航空航天大学物理学院教授，博士生导师。中国仪器仪表学会显微仪器分会理事，中国宇航学会空间遥感专业委员会委员，主要从事扫描探针显微学与纳米表征方法研究。上世纪90年代初师从姚骏恩院士，研制成功国内首批激光检测原子力显微镜。近年来承担并完成国家863计划课题、国家科技支撑计划重大课题子课题、国家自然科学基金、北京市自然科学基金等项目20余项。先后研制成功石英音叉探针频率调制原子力显微镜，原子力显微镜液相环境频率调制成像系统，原子力显微镜高次谐波/多频激励成像系统。率先开展了基于压缩感知的原子力显微镜成像方法研究，基于小波变换的原子力显微镜高次谐波信号分析研究。在Nanotechnology、Ultramicroscopy、Review of Scientific Instruments等国内外学术期刊发表论文100余篇，获授权国家发明专利15项。

参考文献

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[3] Andersson S B, Pao L Y. Non-raster sampling in atomic force microscopy: A compressed sensing approach[C]. American Control Conference. IEEE, 2012:2485-2490.

[4] Han G, Lin B. Optimal Sampling and Reconstruction of Undersampled Atomic Force Microscope Images using Compressive Sensing[J]. Ultramicroscopy, 2018, 633:85-94.

[5] Kelley K P, Ziatdinov M, Collins L, et al. Fast Scanning Probe Microscopy via Machine Learning: Non-rectangular scans with compressed sensing and Gaussian process optimization[J]. Small, 2020(16) :1-6.

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[7] Zhang Y, Li Y, Wang Z, et al. A fast image reconstruction method based on Bayesian compressed sensing for the undersampled AFM data with noise[J]. Measurement Science and Technology, 2019(30).

[8] Zhang Y, Li Y, Song Z, et al. A novel method to remove impulse noise from atomic force microscopy image based on Bayesian compressed sensing[J]. Beilstein Journal of Nanotechnology, 2019 (10).

[9] Zhou W, Ren M, Zhu L. Reconstruction of multi-frame semi-sparse scanning probe microscopy images using dependent Gaussian process[J]. Measurement Science and Technology, 2020, 31(4):045013 (11pp).

[10] Braker R A, Luo Y, Pao L Y, et al. Improving the Image Acquisition Rate of an Atomic Force Microscope Through Spatial Sub-sampling and Reconstruction[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2020, 25(2):570-580.

[11] Oxvig C, Arildsen T, Larsen T. Structure Assisted Compressed Sensing Reconstruction of Undersampled AFM Images[J]. Ultramicroscopy, 2017, 172:1-9.